Matematiikan kieli

Galileo Galilei, italialainen fyysikko ja astronomi, sanoi 1600-luvulla, että ”matematiikka on kieli, jolla Jumala on kirjoittanut universumin”. Matematiikkaa koulussa opiskelleilla voi olla vähemmän jumalallisia muistoja oppiaineesta. Esimerkiksi kieliin ja historiaan suuntautuneet opiskelijat ovat saattaneet tuskailla, miten kaukana kielestä ja mielekkään tuntuisesta kommunikaatiosta matematiikan opiskelu on. Matematiikalla on kuitenkin myös vankka yhteys kieleen.

Symbolit sanoina

Oma matematiikan opettajani  tiesi kertoa, että matematiikassa riittää, kun ymmärtää asiat – muistamista, kielen sanojen opiskelun tapaan, ei tarvita. Tiedonanto oli vahvasti värittynyt – matematiikan symbolit eivät juuri sanoista eroa.

Monet matemtiikan symbolit tulevat klassisista kielistä: latinan aakkosto on perusta. Matematiikassa tuntemattomia muuttujia voidaan merkitä esimerkiksi symbolein x, y, z. Funktioita merkitään symbolein f, g, h. Pii on π, imaginaarilukuja ovat i ja -i ja valon nopeus on c.; e on energia tai Neperin luku.

Monet matemtiikan symbolit tulevat klassisista kielistä: latinan aakkosto on perusta.

Kreikkalaista aakkostoa käytetään usein kuvaamaan spesifejä symboleja: λ on aallonpituus ja ρ on tiheys. Kreikkalaisten numeroiden sigma Σ on lukuarvo 200; matematiikassa se tarkoittaa summaa. Kaikki nämä ovat symboleja; niiden merkitys on opeteltava erikseen aivan kuten luonnollisen kielen sanojenkin. Symbolien suhde viittauskohteeseensa on sopimuksenvarainen. Muistamista on siis melkoisesti.

Klassisesta kielestä tulevat termit sini, kosini ja tangentti ovat trigonometrisiä funktiota. Latinaa vähänkin harrastanut pääsee nopeasti kiinni trigonometrisiin funktioihin. Sini tulee sanasta sinus, kosini sanasta cosinus ja tangentti sanasta tangere. Raamatunkäännöslauseen ”Noli me tangere” (älä koske minuun) tunteva muistaa trigonometriset funktiot ja kolmion sivut helposti. Anatomian terminologia (sinus) ja kolmiot limittyvät toisiinsa, kun pohtii sanojen merkitystä tarpeeksi. Joku asia voidaan muljauttaa pois paikoiltaan: ex position. Saadaan eksponenttifunktio: kuinka monta kertaa luku kerrotaan itsellään.

Jumalan olemassaolon todistus -anekdootin jättäisin: voisi lisätä että todistus oli jäynä oppimattomalle ja ettei todistus tarkoittanut oikeasti mitään

Matemaattisen kielen rakenne

Matematiikassa on symboleja, kuten kielessä on sanoja, ja matematiikassa on syntaksi, samoin kuin kielessä eli symbolit ja sanat muodostavat lineaarisia rakenteita ja kuvaavat todellisuutta. Yksinkertainen yhtälö x+y=z palautuu yksikertaiseen kielen väitelauseeseen, ja yhtälön ja lauseen merkitys avautuu vasemmalta oikealle.

Kirjoittaja käyttää esseetekstissään sulkuja selventämään ajatustensa ja argumenttiensa järjestystä; matematiikassa sulkuja voidaan käyttää selventämään laskujärjestystä. Lauseke [(1+2)·(1+5)] = 18 ja 5 ≥ 4 kuvaavat spesifin asiaintilan, ja symbolit asetetaan tarkoin määrättyyn järjestykseen. Lause ”The horse raced past the barn” kuvaa eri asiaintilaa kuin lause ”The horse raced past the barn fell”. Ilman syntaksia ei ole merkitystä.

Joukko-oppi avautuu kieliopin avulla: joukko B on joukon A osajoukko, jos jokainen joukon B alkio kuuluu joukkoon A. Matematiikan kielellä asia ilmaistaan seuraavasti: B ⊆ A. Esimerkiksi voidaan todeta, että {1,2} ⊆ {1,2,3}. Lauseenjäsennystä osaava tietää, että nomini on sana, joka taipuu sijamuodoissa ja luvussa, ja niitä ovat substantiivit (”auto”), adjektiivit (”nopea”), numeraalit (”kolme”) ja pronominit (”ne”). Voidaan siis todeta, että adjektiivit ja numeraalit muodostavat nomini-joukon osajoukon.

Matematiikan keskeisiä termejä on funktio, ja sen selitykset konkretisoituvat toteamuksella, että kyseessä on alun perin latinan sana fungere ja sen merkitys. Funktio on toimintaa: jos funktio on y=x², y suorittaa x:n määräämän toiminnan y-akselilla (ja kaunis, suipon U:n muotoinen käyrä, parabola, muodostuu). Suomeksi voitaisiin sanoa, että y tekee työtä käskettyä: työ voi olla esimerkiksi raketin parabolinen lentorata.

Ongelmanratkaisua kielen keinoin

Heuristiikka matematiikassa on laskennallinen menetelmä, joka tarjoaa toteuttamiskelpoisen ratkaisun ongelmaan riittävän nopeasti. Ratkaistavana voi olla esimerkiksi optimointiongelma, jossa tulee selvittää miten tietty jakelureitti kannattaa ajaa kustannustehokkaasti. Termi tulee kreikan huudahduksesta Heurēka: ”Olen löytänyt sen!” Geometriset muodot, esimerkiksi pentagon, heptagon ja octagon (termistä trigonometria, trigon, puhumattakaan) ovat matematiikkaa ja kreikkaa.

Kardinaaliluvut, reaaliluvut, imaginaariluvut ja rationaaliluvut ovat lukuja ja niiden osajoukkoja. Taustalla olevien latinan sanojen – cardinalis, realis, imaginaris, rationalis – tunteminen auttaa ymmärtämään kyseisten lukujen luonteen matematiikassa. Ehkä samalla voi puhua kardinaalien, kirkkoruhtinaiden, mahtavuudesta ja rationalis-virkailijoiden vallasta Rooman valtakunnassa. Imaginaariluvut tekevät mielikuvituksellisia temppuja, joihin muut luvut eivät pysty.

Rooman valtakunnallakin oli rajansa: esimerkiksi Limes Britannicus, Limes Arabicus ja Limes Africae. Niistä kiinnostunut hoksaa raja-arvon määrittämisen idean helposti. Se, symbolinaan lim, tarkoittaa likiarvoa, jota lausekkeen arvo lähestyy. Lukion matematiikan opettaja antoi lottovinkin: päävoiton todennäköisyys on lausekkeen 1/x raja-arvo, kun x= ∞; symboli ∞ tarkoittaa äärettömän suurta arvoa.

Matemaattinen tai filosofinen lauseke todistetaan oikeaksi, ja todistelu päätetään sanoihin ”quod erat demonstrandum” (mikä oli todistettava). Formaali ajattelu ja klassinen sivistys lyövät kättä.

Sivistynyt henkilö, esimerkiksi matemaatikko tai teologi, ymmärtää myös todistelun rajat. Matemaatikko Leonhard Euler ”todisti” 1700-luvulla Jumalan olemassaolon oikeudessa kaavalla a+bⁿ/n=x. Hämmentynyt opponentti ryntäsi ulos oikeussalista kykenemättömänä vastaamaan. Todistus oli jäynä oppimattomalle, eikä todistus todellisuudessa tarkoittanut mitään.

Retrospektiivisen viisauden valossa voi todeta, että matematiikkaa ja latinaa ja kreikkaa sekä kielen syntaksia tulisi opettaa yhdessä. Samalla tulisi opiskelluksi tietysti englannin sanastoakin latinan kautta, kenties vähän teologiaa ja kulttuurihistoriaakin. Matematiikan oppija koulussa nujertuu usein jo pelkkiin käsitteisiin, jotka tuntuvat täysin vierailta. Opettajan tulisi kertoa heti alussa, että matematiikan monet käsitteet ovat tavallisia kielen sanoja.

Lähteet

Galilei, G. (1960/1623). Teoksessa S. Drake & C. D. O’Malley (toim.), The Assayer’ (’Il Saggiatore’). The Controversy on the Comets of 1618. University of Pennsylvania Press.

Pysyvä osoite: http://urn.fi/URN:NBN:fi-fe2022061346061